‘Elysium’ y la caída libre en su gravedad artificial

 

Siempre que escribo una crítica de alguna película o novela de ciencia ficción me gusta  reflexionar sobre la ciencia que aparece en ella. A menudo estas explicaciones “extra” son tan extensas que requieren una entrada aparte de la crítica. Y esto es lo que también me ha sucedido con la película Elysium (2013). Así que antes de publicar la crítica, vamos a ver algunas cosas curiosas sobre la gravedad en la nave/ciudad, llamada también Elysium, que aparece en esta película.

 

Gravedad artificial en Elysium

Elysium es una estación espacial con forma de anillo (en realidad es más como un ‘donut’), que genera su gravedad artificial de una forma plausible y muy común en la ciencia ficción: a partir de la fuerza de inercia que genera su movimiento rotatorio. Este es un diseño que no tiene ningún inconveniente teórico para funcionar. Para entendernos, la misma fuerza que te lleva a la derecha cuando giras con el coche hacia la izquierda (una fuerza “que no te hace nadie” sino que se debe a tu inercia de continuar con el movimiento que llevabas cuando el coche gira), podría mantenerte “pegado” a la pared interna de Elysium mientras esta va girando respecto su eje. Solo hay que pensar que la pared es el suelo (un suelo que se curva hacia arriba en una dirección), y ya tienes gravedad artificial.

Lo que me ha llevado a escribir esta entrada (lo que ha hecho que sea más extensa de lo que esperaba) ha sido pensar en qué se diferencian la gravedad de la Tierra de una gravedad artificial como la de Elysium. Esto no tiene estrictamente nada que ver con algo que pase en la película, pero como el “descubrimiento” me pareció curioso aprovecho para explicarlo (y de paso, si cometo algún error, también para que me corrijan).

Primero me pregunté si la sensación de gravedad en el suelo es idéntica a la que tendríamos en la Tierra. Una vez nos encontramos en la superficie, y nos movemos junto con Elysium, podemos decir que estamos quietos respecto a la referencia ‘Elysium’. No notamos que nos arrastre porque la velocidad angular (la velocidad a la que gira) de Elysium es constante1. En cambio, como esa referencia es no-inercial, aparecen fuerzas ficticias (lo mismo que en el coche cuando gira, como he explicado antes). Esa es la fuerza que nos mantiene pegados al suelo de Elysium, generando la gravedad artificial. Así que, en principio, la sensación de gravedad cuando ya estamos en el suelo moviéndonos junto con Elysium es como en la Tierra.

 

Elysium

 

El problema de la caída libre

Lo siguiente que pensé fue que, al no ser una gravedad convencional (un campo gravitatorio, y por tanto, una fuerza que actúa a distancia, como la que hace la Tierra sobre una manzana en un árbol), no debería tener influencia alguna sobre los objetos que no se encuentran en contacto con Elysium. Por Ejemplo, un astronauta que se fuese acercando desde kilómetros de distancia hacia la estación, podría atravesar el anillo mientras ve como va girando, sin verse atraído por ninguna gravedad artificial. Así que mi siguiente pregunta fue, ¿cómo es la caída libre en Elysium?

En la Tierra, cuando se deja caer un objeto sin velocidad inicial, este se mueve siguiendo una trayectoria recta2. Lo que me pregunto es si en una nave como Elysium los objetos caen también así (respecto al observador de la nave). Para explicar esto me ayudaré de un dibujo (hecho con el siempre infravalorado programa Paint).

 

Elysium

 

La situación que planteo es la siguiente: una persona en Elysium deja caer un objeto (punto rojo) justo por encima de su cabeza, sin darle velocidad inicial (respecto a Elysium). Para claridad del dibujo, Elysium tiene un radio (R) muy pequeño en comparación con la altura de la persona. Nosotros estamos viendo la escena desde fuera, es decir, para nosotros el centro de Elysium está quieto y lo vemos girar a velocidad constante ω, y también vemos moverse a la persona, junto con la nave, siguiendo el círculo negro en sentido contrario a las agujas del reloj.

Hagamos algunas observaciones más antes de entrar (sin miedo) en la mates:

  1. Que la persona viera caer el objeto como aquí en la Tierra significaría que caería verticalmente en su referencia, y por tanto el punto rojo tocaría el suelo a los pies de la persona en el punto P.
  2. La persona está “sujeta” al suelo debido a la fuerza de inercia, que hace de gravedad artificial. Visto desde fuera, se mueve a una velocidad tangencial constante que depende del radio de Elysium R y de la velocidad angular ω.
  3. El punto rojo, en cambio, es independiente de Elysium en cuanto la persona lo deja libre, siguiendo entonces un movimiento rectilíneo uniforme visto desde fuera, con una velocidad constante que es la que tenía justo antes de soltarse, y que como la de la persona, depende de su distancia al centro de Elysium r y de la velocidad angular ω.
  4. Para que se cumpla la observación 1, es decir, para que persona y punto rojo se encuentren en P, deben llegar al mismo tiempo a ese punto. La velocidad de la persona es mayor pero también lo es la distancia que debe recorrer (s). La velocidad del punto rojo es menor, pero también lo es su distancia al punto P (línea de puntos horizontal en el dibujo).

Por culpa del punto 4, no es evidente que no puedan llegar al mismo tiempo al punto P. Pero para salir de dudas hay que usar las matemáticas. Debemos comprobar, como dice el punto 4, que el tiempo trascurrido para los dos hasta llegar al punto P debe ser el mismo. En general, en un movimiento uniforme, ese tiempo equivale a la distancia recorrida dividida entre la velocidad. Considerando las velocidades y distancias de cada uno (objeto y persona), podemos calcular el tiempo necesario.

Para la persona, el tiempo trascurrido hasta llega a P es:

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Lo que tiene sentido, porque la persona va “pegada” a Elysium, y el ángulo θ es lo que ha girado Elysium en ese tiempo (lo hemos definido nosotros así).

Para el punto rojo, hay que usar un poco de trigonometría si queremos dejar la distancia recorrida en función del ángulo θ y de la distancia r. El tiempo trascurrido hasta P es:

image

La tangente (tan()) solo es algo que relaciona los dos catetos y un ángulo en un triángulo rectángulo (el formado por líneas grises discontinuas en el dibujo). Si esos dos tiempos son iguales entonces debe cumplirse la siguiente ecuación para un cierto ángulo:

image

Una solución trivial es θ = 0, pero eso no es posible si Elysium está en movimiento. O solo sería posible si el objeto rojo ya estuviera en el suelo. ¿Hay alguna solución más? No es una ecuación de la que se pueda aislar la incógnita, pero podemos pensar algo sobre la forma que tienen las funciones de cada término de la igualdad. La línea azul es la parte de la izquierda (la tangente) y la roja es la derecha (el ángulo) de la ecuación. Allí donde las dos curvas se cortan, hay una solución.

 

image

 

Podría pasar que se encontraran solo en el ángulo cero (el ángulo es la coordenada horizontal del gráfico) o también en algún ángulo más (quizás la azul cruza varias veces la roja). Resulta que no, que la línea azul siempre está por encima de la roja (para ángulos positivos), menos en el cero, donde sabemos que se encuentran. Se puede comprobar esto porque la derivada de la tangente3 (que nos dice la pendiente de la curva en cada punto) es siempre mayor que 1 (que es la pendiente de la recta roja). Es como preguntarse si dos coches vuelven a cruzarse si comienzan una carrera en el mismo lugar, pero uno va siempre más rápido que el otro. Nunca volverán a coincidir.

Lo mismo sucede con las dos gráficas roja y azul. Por lo tanto, el objeto rojo no encontrará el suelo justo a los pies de la persona. Además ahora también sabemos que el objeto rojo tarda más tiempo que la persona en llegar al punto P. Eso equivale, desde el punto de vista de la persona, a ver el objeto ir  hacia un lado en lugar de caer verticalmente. Caería a su izquierda, desde nuestro punto de vista.

 

No es como en la Tierra, ¿pero por poco?

Aunque no podamos decir que la “caída” de un objeto sea similar en Elysium que en la Tierra, aún podemos contentarnos con que sea parecido. Es un consuelo bastante razonable, porque como se ve en la gráfica anterior, las funciones de la tangente y el ángulo se parecen bastante si el ángulo es cercano a cero. Y un ángulo pequeño se consigue haciendo el radio de Elysium R grande en comparación con la altura de la persona, lo que a su vez es también los más realista. Ángulos parecidos y pequeños implica que los dos tiempos son también prácticamente iguales, y el objeto casi caería a los pies de la persona. 

Podemos hacer algunos números para ver a qué distancia de la persona acaba el objeto. Es de suponer que una estación espacial de 30 km de radio (el dato lo he sacado de aquí, supongamos que es fiable) es lo suficientemente grande como para que los objetos parezcan caer igual que en la Tierra. Podemos comparar los tiempos que tarda objeto y persona en llegar al punto P. Para ello basta con restar las dos ecuaciones del tiempo que hemos visto antes:

image

Ese es el intervalo de tiempo que pasa entre que la persona llega al punto P y lo hace más tarde el objeto. Para cuando el objeto llega al suelo, la persona se ha seguido moviendo junto con Elysium. Podemos calcular cuánto se ha alejado de P  la persona en ese tiempo multiplicándolo por la velocidad de la persona, que era ω·R:

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Fijémonos en que si la tangente y el ángulo son iguales, entonces esa distancia de separación es cero, como ya sabíamos. Pongamos algunos números. Si la persona deja caer el objeto a la altura de su cabeza, pongamos que de 1.7 m, entonces:

R = 30 km = 30.000 m (radio de Elysium)

r = 30.000 m – 1,7 m = 29.998,3 m (distancia del objeto al centro de Elysium)

θ = 0.010645863 rad (porque cos(θ) = r/R)

Δs = (tan(θ) – θ)·R = 0,012065973 m = 12,07 cm

 

Más de 10 cm no es poca cosa. Esta claro que cuanto más arriba dejemos caer el objeto, mayor será la diferencia. Incluso para el ejemplo que hemos usado, que no se deja caer desde una gran altura, la diferencia es importante. Así que ni siquiera podemos decir que la diferencia en la caída libre sea inapreciable. Saltar o jugar a algún deporte con pelota sería algo extraño en Elysium, porque las cosas no caerían donde esperaríamos que lo hicieran. Por otro lado, nuestros cerebros podrían acostumbrarse a esa física distinta, e incluso unos niños que vivieran allí desde siempre podrían acabar aprendiendo intuitivamente que las leyes de la mecánica son anisotrópicas, es decir, que cambian según la dirección. Pero eso ya es otro tema.

 

 

Notas:

1 Si nos moviéramos sí notaríamos algo, porque aparecería otra fuerza ficticia: la fuerza de Coriolis, que depende de la velocidad relativa. En la Tierra también se nota esa fuerza de Coriolis, porque al estar rotando, la Tierra también es una referencia no-inercial. Es la fuerza responsable de que los ciclones y anticiclones giren en el sentido que lo hacen o de que funcione el péndulo de Foucault.  

2 Es una parábola si se lanza con velocidad inicial en una dirección que no sea la vertical, como un cañón cuando dispara una bala. Para simplificar el problema, el objeto simplemente se deja caer.

3 La derivada de tan(θ) es 1 + (tan(θ))2. Como el cuadrado es positivo siempre, el valor de la derivada (la pendiente) es mayor que 1 siempre.

4 comentarios

  1. Información Bitacoras.com

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  3. […] parte me resulto tan extensa que ya le dediqué una entrada aparte titulada ‘Elysium’ y la caída libre en su gravedad artificial. Poco más podría añadir sobre este […]

  4. […] sea una maravilla, pero por lo menos me dio para escribir dos entradas de divulgación, una sobre gravedad artificial y la otra sobre la […]

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