El monasterio de ‘Anatema’ y la raíz octava de la unidad

 

Acabo de empezar Anatema, una novela de ciencia ficción que promete ser de las buenas, y me permitirá escribir más de una entrada como esta en el futuro,seguro. Es una historia bastante compleja, en la que el autor inventa un planeta (Arbre) y una civilización con unos 7.000 años de historia detallada hasta el momento en que comienza la historia del libro. También inventa un vocabulario propio del planeta, lo que hace más difícil aún la lectura al principio, porque tengo que ir consultando el glosario del final continuamente. Por lo que he leído hasta ahora, y como ya se advierte en la introducción, el libro incluye muchas reflexiones filosóficas y de carácter matemático o científico, así que seguro que me queda mucho por disfrutar de sus casi 1.000 páginas que tiene. Pero iré al grano, porque no quería escribir de la novela en si, sino de uno de esos comentarios matemáticos que se mencionan.

Cuando se describe la geometría del la Seo (que es como un monasterio, no se me ocurre otra palabra mejor para ese concepto inventado), se nombra una propiedad de las raíces de un número. El fragmento es este:

 

El presbiterio, el corazón de la Seo, tenía planta octogonal (o como dirían los teores, poseía la simetría de grupo de las raíces octavas de la unidad).

 

 

Los teores, otra palabra inventada, serían como los científicos, que estudian las matemáticas, o la filosofía. ¿Qué relación puede haber entre un octágono y las raíces octavas de la unidad? Recordé cuando aprendí esa relación, y lo que me sorprendió en su momento, así que fue agradable volver a recordar eso leyendo ese fragmento. Por eso quería compartirlo aquí.

Vayamos paso a paso. Primero, ¿qué se entiende por una raíz octava de la unidad? Es muy sencillo: esa raíz debe ser un número que multiplicado por si mismo ocho veces de como resultado 1. Hay una solución que seguro que muchos pensaréis, el propio 1, ya que

 1·1·1·1·1·1·1·1 = 1.

 

Hay otra solución, quizás no tan evidente, pero por el hecho de ser 8 un número par, el –1 también funciona:

(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) = 1. 

 

¿Son esas dos (1 y –1) todas las raíces octavas de 1? Pues no, hay 6 raíces más. Aunque si alguien opina que no hay más números reales que sean la raíz octava de 1, tienen toda la razón. En la palabra “reales” está la clave, puesto que las 6 raíces restantes se encuentran entre los números complejos.

 

La potencia de un número complejo

Ya sé que podría decir mucho sobre los números complejos, pero para no complicar más la cosa (ya que la intención es que pueda entenderlo todo el mundo), voy a ir al grano. Los números complejos tienen dos partes, una real (a), y otra que se llama imaginaria (b).

a + b*i

Estas dos partes del mismo número se representan gráficamente en un plano, en el que las coordenadas son por un lado la parte real y por otro la imaginaria. Podemos pensarlo como una flechita que sale del origen y se dirige a un punto concreto del plano, como se ve en el dibujo.

 

plano_complejo

 

Obsérvese que en ese plano pueden representarse todos los números, incluidos los reales (no tienen parte imaginaria, b=0). El número 1 y –1, por ejemplo, son dos flechas que apuntan a la derecha y a la izquierda respectivamente, y que tienen longitud 1. Como también se ve en el dibujo, se puede saber cuál es la posición de un número complejo de otra forma: por lo grande que es la flechita (ρ) y el ángulo que forma con la recta horizontal (θ):

ρ · eθ·i

 

Esa forma de escribir el número (conocida como forma polar) es la más útil cuando se trata de hacer potencias o raíces de un número complejo. Vamos a usar la representación polar para encontrar todas las raíces octavas de 1, las reales y las complejas. En primer lugar, veamos qué pasa si multiplicamos 8 veces un número complejo en forma polar:

(ρ · eθ·i)8 = (ρ)8 · eθ·i

 

Parece que el resultado tiene como nuevo tamaño de flechita la de antes elevada a 8, y como nuevo ángulo el de antes multiplicado por 8. Buscamos que ese número sea 1, y eso en número complejos en forma polar significa dos cosas:

 

1. La distancia al origen tiene que ser 1. Es decir,

(ρ)8 = 1

 

como ρ es real y no puede ser negativo (es una distancia), nuestras raíces octavas tienen todas una distancia al origen ρ = 1.

 

2. El ángulo tiene que representar los 0º. No tiene que ser 0 necesariamente, puede ser 2·π, o cualquier múltiplo de 2·π. Podemos llamar a ese múltiplo 2·π·k, con ‘k’ un número natural el que sea (0, 1, 2, …). Es decir, la raíz tiene que cumplir que

8 · θ = 2·π·k

θ = (2·π·k) / 8

 

El octágono de las raíces octavas de uno

En resumen, todas las raíces octavas de 1 están repartidas en el plano complejo a una distancia de 1 del origen, y formando ángulos entre si de 45º. Hay un total de 8 (las que corresponden a los números k del 0 al 7). Para k = 8 volvemos a tener de nuevo el ángulo 0.

 

octagono

 

Uniendo las puntas de todas la flechas (las raíces octavas de uno, que incluyen 2 soluciones reales y 6 complejas), obtenemos un octágono. Con cualquier otra raíz en lugar de la octava (y mayor que dos) también obtendríamos un polígono regular, ya que se dividiría el plano complejo en tantas partes como indicara la raíz.

Decir que algo con geometría octogonal, como la sala de la novela, tiene la simetría de las raíces octavas de la unidad, es un poco retorcido, pudiendo decir simplemente octágono. De todas formas me ha parecido curioso que se utilice esta propiedad de las raíces complejas en el libro. Espero encontrar más cosas así en lo que me queda por leer (que no es poco). 

 


Referencias:

  • Anatema, Neal Stephenson. Ed. B, Barcelona (2009)

2 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com:   Acabo de empezar Anatema, una novela de ciencia ficción que promete ser de las buenas, y me permitirá escribir más de una entrada como esta en el futuro,seguro. Es una historia bastante compleja, en la que el autor inventa …..

  2. […] – El monasterio de ‘Anatema’ y la raíz octava de la unidad  […]

¿Qué te parece?

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: