La raíz cuadrada de 2… en la prehistoria

 

¿Se sabía, en algún lugar del mundo hace 5.000 años, cómo hacer una raíz cuadrada? Pues se cree que sí, que los babilonios podían calcular al menos una aproximación de la raíz cuadrada de un número. Aunque hay que entender que los números no eran exactamente como los entendemos ahora. En esta entrada pretendo explicar un poco cómo se cree que era la matemática en la antigua Babilonia, y su aproximación a la raíz de 2, lo que me allanará el terreno para, en próximas entradas, explicar el método que utilizaban para aproximar la raíz cuadrada en general.

 

image

 

La tableta YBC 7289

 

La figura que se ve arriba representa la YBC 7289, una de las tabletas sobre matemática de la antigua Babilonia más conocidas. En ella aparece un cuadrado con sus diagonales. Al margen está escrito el número 30, y en el interior el número 1, 24, 51, 10 en una fila y 42, 25, 35 en otra. Estos números están escritos en base sexagesimal, lo que va a requerir una explicación previa.

Los números que conocemos están normalmente expresados en base decimal. Esto significa que utilizamos básicamente diez símbolos (tantos como dedos en las manos, si no trabajas en un aserradero) que son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Alternando estos símbolos y añadiendo nuevas posiciones conseguimos todos los números. La misma lógica se utiliza para cualquier otra base. En base dos (o binaria) solo nos hacen falta dos símbolos, por ejemplo 0 y 1. ¿Qué pasa si nos hacen falta más de diez símbolos? Bueno, pues pueden usarse letras del alfabeto, como en la base hexadecimal (16 símbolos). En esa base, el número 10 es A, por ejemplo.

Se cree que la base utilizada por los babilonios era sexagesimal, es decir, que tenían en cuenta los ciclos de 60 en 60. En una base tan grande, nos hacen falta muchos símbolos “nuevos” aparte de los diez que conocemos. Pero imaginemos que los números, aunque de varias cifras, pudieran ser en sí mismo un “símbolo”. Por ejemplo, el 24 no es un 2 y un 4, sino el símbolo único de 24. A partir de ahora, para separar los símbolos unos de otros se usarán comas (,), y para indicar una coma se usará punto y coma (;). Por ejemplo, si el número 30 está expresado en base sexagesimal, es un solo símbolo (puesto que no he escrito 3,0), y en decimal vale lo mismo, 30. Si en cambio escribo 0;30, entonces el número son 30 sexagésimas partes de la unidad, es decir, en decimal es 0,5. En general se pueden convertir los números de sexagesimal a base decimal multiplicando los símbolos por bases de 60, según la posición. Hagámoslo con los que aparecen en la tabla.

Veamos cuánto vale el número de la primera fila en decimal:

 

1·603 + 24·602 + 51·60 + 10 = 305.470

 

Supongamos que el 30 es en realidad una fracción 0;30, es decir, la mitad de una unidad en sexagesimal (que en decimal sería 0,5). Si se multiplica el número anterior (el de la primera fila) por 0;30 es equivalente a dividir entre 2 (el 2 y el 30 son inversos en base sexagesimal). El resultado de la multiplicación es el número de la segunda fila: 42, 25, 35. Puede comprobarse si se pasan a base decimal que el primer número es el doble que el segundo.

 

42·602 + 25·60 + 35 = 152.735

152.735 x 2 = 305.470

 

Es decir, los dos números que aparecen en la tabla están relacionados entre si, y la relación viene dada por el valor 0;30 que aparece en el lado del cuadrado. Esa relación es simplemente un producto. Si al lado le llamamos L, y al número de la primera fila P y al de la segunda S, la relación es:

P x L = S

Que en nuestro caso es:

(1, 24, 51, 10) x (0;30) = (42, 25, 35) 

o en decimal:

305.470 x 0,5152.735

 

De momento, esta solo es una relación numérica, y aún puede que no sea muy sorprendente. Pero resulta que la relación entre estos números también es geométrica. Si multiplicamos o dividimos la ecuación anterior por cualquier número en los dos lados, la igualdad se mantiene. Si dividimos entre 603, obtenemos la ecuación:

 

(1; 24, 51, 10) x (0;30) = (0; 42 25 35)

 

Si consideramos 0;30 como el valor del lado del cuadrado (L), el valor de la diagonal resulta ser 0;42 25, 35, y la relación entre esos dos números es 1; 24, 51, 10. Recordemos que la diagonal de un cuadrado de lado c se calcula como la raíz de 2 multiplicada por c. Sabiendo esto, la relación que nos proporciona (el valor P) la tabla es una aproximación a la raíz cuadrada de 2, que podemos calcular en base decimal:

 

1 + 24·60-1 + 51·60-2 + 10·60-3 = 1,41421296296…

 

Comparándolo con el valor de la raíz de 2 de una calculadora, se comete un error absoluto menor que 10-6. Es decir que al menos las 5 primeras cifras decimales están bien, lo que no es mala precisión.  

Pero aquí no acaba la cosa. Como el lado es 0;30 (en decimal 1/2), al multiplicar por ‘raíz de 2’, es equivalente a dividirla entre 2. La raíz de 2 ente 2 resulta ser la inversa de raíz de 2. De ahí que además de tener una aproximación a raíz de 2, el valor S nos da una aproximación a la inversa de esa raíz:

 

0 + 42·60-1 + 25·60-2 + 35·60-3 = 0,707106481481…

 

La aproximación a la raíz de dos es uno de los coeficientes matemáticos que se consultaban a través de listas de números, para resolver problemas. Todas las formas geométricas tienen una componente característica, como por ejemplo el lado de un cuadrado. Multiplicando esas componentes, o sus cuadrados, por los coeficientes de las tablas se podían calcular otras longitudes o áreas de una figura.

Se sabe, por lo tanto, que el valor de raíz de dos se copió de alguna tabla, pero queda por saber como se calculó en primer lugar. Y eso es precisamente lo que explicaré en próximas entradas: el cálculo de la raíz cuadrado propiamente dicho.

 

 

Referencias:

  • David Fowler, Eleanor Robson. ‘Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context’ [PDF]

3 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com:   ¿Se sabía, en algún lugar del mundo hace 5.000 años, cómo hacer una raíz cuadrada? Pues se cree que sí, que los babilonios podían calcular al menos una aproximación de la raíz cuadrada de un número. Aunque hay que entender …..

  2. […] Fermat. Y también escribí sobre cómo se las apañaban en la prehistoria (sí, has leído bien) para hacer raíces cuadradas. Una entrada que creo que merece estar aquí porque creo que está bien documentada. Aunque basta […]

¿Qué te parece?

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: