Diofanto y el último teorema de Fermat

 

Hace unas semanas “presenté” a Diofanto de Alejandría como un matemático griego, autor de una obra muy influyente a lo largo de toda la historia de las matemáticas: La Aritmética. Se dice incluso que fue el  primer matemático en usar álgebra, aunque de ahí a que la inventara va un paso y es más discutible (ese honor se le concede a Al-Khwarizmi).

Lo que no es discutible es su originalidad para resolver problemas, que hoy llamaríamos de Teoría de Números, y su importancia en inspirar a grandes matemáticos a través de la historia, y a motivar la investigación de nuevas ramas de la matemática. Uno de los ejemplos más famosos de esa “inspiración” es sin duda el del último teorema de Fermat.

 

Uno de los problemas de La Aritmética, el número 8 del libro II para ser exactos, tiene el siguiente enunciado:

 

Descomponer un cuadrado dado en dos cuadrados

 

Los enunciados de Diofanto siempre describen las ecuaciones (igualdades) de forma retórica, como he puesto arriba1. Hoy en día, nosotros lo escribiríamos así:

 

x2 + y2 = a2

 

Descomponer un cuadrado significa separar a2 en la suma de dos números. Y además esos dos números tienen que ser cuadrados: x2, y2, según el enunciado de Diofanto. Ser un cuadrado significa que es el resultado de elevar un número racional (3, –27, 4/5,…) al cuadrado. Para Diofanto que existiera una solución significaba que existía dentro de los racionales (fracciones de dos enteros).

La solución2 que da Diofanto al problema II.8 es la siguiente (obviamente él no usaba las letras y los números que yo he escrito, sino que como he comentado lo hacía todo explicándolo retóricamente):

 

Sea 16 el cuadrado dado que se quiere descomponer en dos cuadrados. Si el primero [de los cuadrados] es x2, el segundo será y2 = 16 – x2, y deberá ser un cuadrado.

Pongamos que el lado de ese cuadrado [el segundo] sea y = mx – 4 con ‘m’ arbitrario y donde 4 es el lado de 16. Por ejemplo, que sea 2x – 4.

El cuadrado de este lado es 4x2 + 16 – 16x que es igual a 16 – x2.

Sumando a uno y otro lado los términos negativos y restando los semejantes, 5x2 = 16x, luego x = 16/5.

Los cuadrados son 256/25 y 144/25, cuya suma es 400/25 = 16.

 

Es curioso el comentario al margen que hizo alguien sobre el manuscrito en el que se conserva este problema (el Codex Matritensis 48, la fuente más antigua de los textos de Diofanto):

 

Que tu alma, Diofanto, sea con Satanás por la dificultad de los otros teoremas y sobre todo por la de éste

 

No creo que sea para ponerse así. En cualquier caso, lo que sí está claro es que la solución del problema es muy original, como explicaré a continuación.

Lo que hace Diofanto en el problema anterior es asignar su incógnita a uno de los cuadrados (x2). Después dice que el lado del otro cuadrado es y = mx – a. ¿Y porqué precisamente eso? os preguntareis. Bueno, pues resulta que tiene muchas ventajas. Veamos que pasa al calcular y2 y compararlo con a2-x2 (que es lo que tiene que dar, por el enunciado):

 

y2 = (mx-a)2 = m2x2 – 2mxa + a2 = a2 – x2 

m2x2 – 2mxa = – x2

 

Con esta asignación de la y se a conseguido que la ecuación de x tenga siempre resultado racional, ya que no tiene término independiente. Siempre quedará una fracción. Ese es el motivo por el que hay una a en la asignación. Sigamos aislando la x:

m2x2 – 2mxa + x2 = 0

(m2 + 1)x2 – 2mxa = 0

(m2 + 1)x = 2ma

x = 2ma/(m2 + 1)

En la asignación y = mx – a, como se ve, también es importante el signo menos. Con ello conseguimos que la solución sea un numero positivo (sin contar con la x = 0). Así que la elección de Diofanto no es aleatoria, sino que tiene mucho sentido. Finalmente, cualquier valor de m mayor que 1 da una solución posible racional (con el 1, x = ay = 0).

 

¿Y qué tiene que ver el último teorema de Fermat en todo esto? Pues ahora veréis. Resulta que en 1621, Bachet publica una versión en latín de los seis libros de La Aritmética de Diofanto con comentarios propios sobre cada problema. Fermat, que tenía un ejemplar del libro de Bachet,  añadió al margen de este problema la anotación probablemente más famosa de la historia de las matemáticas:

 

Por el contrario, no se puede dividir un cubo en dos cubos, ni un bicuadrado en dos bicuadrados, ni en general una potencia superior al cuadrado, hasta el infinito, en dos potencias del mismo grado: he encontrado una demostración verdaderamente admirable de esta afirmación. La exigüidad del margen no podría contenerla.

 

Es decir, lo que decía haber demostrado Fermat, pero no haber anotado la demostración por falta de espacio, es que no puede resolverse el problema de Diofanto con potencias mayores que dos. No existen soluciones racionales positivas para la siguiente ecuación:

 

xn + yn = zn   con n>2

 

Es un misterio si Fermat disponía o no de la demostración. En 1659, Fermat afirmó tener la demostración para n = 3, pero las primeras demostraciones publicadas de los casos n = 3 y n = 4 se deben a Euler. Después de tres siglos desde que se planteara, la demostración fue finalmente publicada por Andrew Wiles y Richard Taylor en 1995.

Como veis, La Aritmética ha servido de inspiración a personalidades tan importantes para las matemáticas como Viète, Bachet Fermat, Descartes, Euler, Dirichlet, Poincaré, y muchos otros. Algunas de las cuestiones que se presentan aún siguen abiertas, como lo estuvo el “último teorema de Fermat” durante siglos. Esas cuestiones impulsan a nuevos matemáticos a la investigación y la ampliación de la matemática, de ahí que haya sido un libro tan influyente, aún siendo una obra incompleta.

 

 


NOTAS:

1 Los enunciados matemáticos en la antigua Grecia no se formulaban como lo haríamos hoy día, usando ecuaciones y símbolos. Eso vendría mucho después. Primero debería inventarse y difundirse el álgebra (sobretodo gracias a Leonardo da Pisa), y luego utilizarse para poderse solucionar cualquier tipo de problemas con letras y ecuaciones como hacemos hoy. Uno de los grandes impulsores de esto último fue Viète, quien decía que su arte analítico resolvía el mayor problema de todos, el de resolver todos los problemas.

2 La solución aportada por Diofanto en sus problemas es siempre una particular, ya que fija los valores constantes (en el problema de antes sería la a2 = 16), si el problema esta determinado (tiene una única solución). Si existen infinitas soluciones aún fijando las constantes (problema indeterminado), entonces escoge una solución de las infinitas posibles. Pero en cualquier caso siempre da una sola. Hoy en día usaríamos las letras para dejar las soluciones generales.

3 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com:   Hace unas semanas “presenté” a Diofanto de Alejandría como un matemático griego, autor de una obra muy influyente a lo largo de toda la historia de las matemáticas: La Aritmética. Se dice incluso que fue el  primer matemáti…..

  2. […] pongo lo que quiero ;). Expliqué un poco sobre la figura de Diofanto de Alejandría, y el famoso último teorema de Fermat. Y también escribí sobre cómo se las apañaban en la prehistoria (sí, has leído bien) para […]

  3. […] También hay otro detalle científico digno de mencionar en este episodio. Más bien es un Fail bastante grande, pero no se les puede culpar a los guionistas, no podían haberlo predicho. Al comienzo del episodio, Picard comenta a Riker que existe un problema matemático que jamás a sido resuelto: el último problema de Fermat. Es verdad que ha estado mucho tiempo sin resolución, de hecho lo ha estado siglos. En el año del episodio, aún seguía sin solución, ¿cómo podían saber los guionistas que, pocos años más tarde, en 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor la encontrarían? Me imagino a los guionistas pensando: “si no lo han encontrado ya, no creo que lo encuentren en el futuro”. Bueno, pues para no crear malentendidos al aficionado a Star Trek si ha visto este episodio, que sepa que la solución ya existe. Para saber un poco más acerca de ese famoso problema, os recomiendo la entrada que le dediqué en este mismo blog.    […]

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