Destejiendo el Juego de cartas de Einstein

 

Dicen que cuando desvelas un misterio, éste pierde su encanto. Al menos eso decían del arcoíris, cuando Newton lo destejió y concluyó que la luz blanca es en realidad la composición de los colores que vemos en él. Parafraseando a Shakespeare: ¿es menos bonito un arcoíris cuando te desvela la verdadera naturaleza de la luz blanca? Para mí, desde luego que no.

Los misterios son a menudo muy atractivos, sino no nos explicaríamos a qué viene la afición por lo paranormal, Cuarto Milenio, y ese tipo de cosas. Los misterios son preguntas que no exigen respuestas. Pero a mí, más que un buen misterio, lo que me satisface por encima de todo es una buena respuesta.

Los magos y los ilusionistas son expertos en producir una ilusión de misterio inexplicable, aunque claro, no quisiera desanimar a nadie, pero siempre hay una explicación. Por eso se les llama trucos de magia. A mí, cuando me hacen un truco de magia, disfruto de la sorpresa y del misterio tanto como el que más, pero a los poco segundos ya se me pasa, y entonces es cuando quiero saber cómo lo ha hecho. Y la satisfacción de saberlo es incomparable.

Lo que voy a presentar aquí es mi búsqueda de la explicación a un misterio. Se trata del Juego de Cartas de Einstein, tal y como se presenta en el libro de juegos de magia con cartas Roberto SuperLight  de Roberto Giobbi. Se trata de un libro con muchos trucos de magia, en general muy sencillos. Los he hecho casi todos y son muy divertidos para hacerlos a amigos, pero como todo, necesitan práctica para que no se te vea el pastel en los momentos clave, como me pasa a menudo (me da por reírme cuando voy a hacer algo importante).

Bueno, no me enrollo más, el caso es que en ese libro muchos de los trucos tienen una explicación matemática detrás que los hace ser lógicamente coherentes, pero esto el espectador no lo sabe, claro. Lo malo es que no se suele explicar cuál es esa propiedad, así que me quedo con las ganas de saber realmente el por qué. Y eso fue lo que me pasó con el Juego de Eisntein que ahora os paso a describir.

 

El Juego de cartas de Eisntein

 

Einstein_pizarra

 

Este juego es muy sencillo de hacer, y la verdad es que el efecto final no está nada mal. El espectador puede barajar el mazo completo de cartas tanto como quiera. Entonces, el mago, con el paquete boca abajo (siempre estamos hablando de cartas, ¿eh?) deja caer sobre una mano las cartas hasta que el espectador dice basta. El resto de la baraja se aparta.

El mago hace notar que no sabe cuantas cartas hay en la que han caído, pero aún así, por si hubiera dudas, deja que el espectador elimine las que quiera y cuantas quiera (dos, tres, cuatro…). Aquí el espectador puede barajar las que quedan si lo desea.

Ahora sí que definitivamente el mago no puede saber ni cuantas cartas hay ni qué cartas son. Y esto es totalmente cierto, pero para que el truco salga bien deben haber entre 4 y 8 cartas. Para conseguir eso se requiere un poco de práctica. Al final aprendes a ver cuantas hay a ojo, de modo que más o menos controlas las que sueltas al principio.

Una vez barajado el pequeño mazo, se le pide al espectador que observe la que ha quedado abajo, esa será la carta que hay que adivinar (obviamente el mago no puede verla).

Entonces hay dos procesos que conducen inevitablemente al exitazo del mago:

  • Proceso 1. El primero, con el pequeño mazo de cartas boca abajo en la mano, consiste en ir poniendo la carta que está arriba, abajo del todo del mazo. Con la siguiente que queda arriba, igual. Tantas veces como letras tiene la palabra Einstein. Todo esto, claro está, normalmente va precedido de una charla sobre Einstein, como justificación para usar su nombre en el juego. En realidad lo importante es pasar 8 cartas de arriba a abajo (E-i-n-s-t-e-i-n), pero eso no se le dice al espectador. Perdería un poco la magia.

En este punto se puede hacer notar al espectador que, al desconocer el número de cartas, aunque sepamos cuántas letras tiene ‘Einstein’ no podemos saber donde ha quedado la carta que estaba abajo del todo al principio. Esa carta habrá ido subiendo por la baraja en 8 pasos, hasta dar la vuelta y volver abajo. Pero sin saber las cartas que hay no puede saberse las ‘vueltas’ que ha dado ni dónde ha quedado. Y esto también es cierto para el mago.

  • Proceso 2. El segundo es el que conduce al final espectacular. Consiste en ir descartando (¿’descartar’ tendrá relación con la palabra ‘carta’? bueno, es igual…) alternativamente las cartas. La de arriba se descarta a un lado, y la de abajo se pone bajo el mazo. La siguiente que queda arriba se descarta, y la siguiente se guarda bajo el mazo. Y así consecutivamente, descartamos unas y pasamos abajo las otras, una sí una no. Como el número de cartas va disminuyendo, inevitablemente acabareis con una sola en la mano. De hecho puede hacerlo es espectador, así parecerá que es él quien hace magia.

Aquí el espectador puede nombrar la carta que vio y… ¡tachán! esa es la carta con la que nos hemos quedado. Todo el mundo te aplaude y te parece oír violines a lo lejos. Es el sonido del éxito.

 

Las matemáticas al rescate

 

Como he dicho antes, esa satisfacción no es suficiente para mí, porque aún tengo preguntas por resolver. ¿Y qué mejor que usar las matemáticas? Si hay algún patrón que produce ese resultado independientemente del número de cartas (o en el rango 4-8),  deberíamos verlo asignando número a las posiciones de las cartas en el mazo.

La asignación que vamos a usar es muy sencilla. La posición 1 es la de la carta que se encuentra abajo del todo, con el mazo boca abajo. Si hay N cartas, la que se encuentra arriba ocupa la posición N.

 

Las mates del Proceso 1

Lo primero que hice fue pensar en las matemáticas que hay tras el primer proceso. En este lo que se hacía era mover 8 veces las cartas superiores a abajo de todo. La posición (P) en la que acaba la carta que debemos adivinar (la que estaba en 1 antes de empezar los movimientos) dependerá del número de cartas que tengamos en total (N). Se pueden distinguir dos casos:

  • N > 8. Si hay más de ocho cartas, entonces es muy fácil. Al pasar ocho cartas hacia abajo, la carta del espectador subirá ocho posiciones, hasta colocarse de la 1 a la posición P=9 (en el primer movimiento pasa a estar en la 2, en el segundo en la 3… y en el octavo en la nueve).
  • N<=8. Si hay menos de ocho cartas, o ocho, la cosa es más interesante. La carta subirá  hasta dar la vuelta y colocarse de nuevo abajo cuando hay ocho justas, y seguirá subiendo cuando hay menos de ocho. Puede que dé varias vueltas completas. Cada vez que esto pasa, es como empezar de nuevo, con la carta abajo de todo. Ver cuantas veces da la vuelta es igual que ver cuantos múltiplos de N hay menores que 8. Y eso es la definición de la operación ‘dividir’. Así que, si dividimos 8/N, y nos fijamos en el resto (R) de la división, esas son las posiciones que se avanzan desde abajo. En particular será: P=R+1.

Ahora ya tenemos una regla que predice dónde acaba la carta tras los ocho movimientos del proceso 1. Si por ejemplo tenemos 5 cartas, el resto de la división entre 8 y 5 es R=3. Así que la posición que ocupará será la P=3+1=4. Si tenemos 4 cartas, el resto es R=0, y la posición P=1.

 

Las mates de Proceso 2

Este segundo proceso es más complicado, y me ha dado más dolores de cabeza, pero por fin salió. Pensemos que hacemos en este caso: eliminamos la carta de arriba, y situamos la siguiente abajo del todo, la siguiente se descarta, la siguiente se pone abajo… En algún momento tendremos dos, descartaremos la de arriba, y la de abajo será la que al principio ocupaba una cierta posición. El objetivo en este caso era saber esa posición, en función del número toral de cartas (N).

La única conclusión a la que pude llegar ‘a vista’ fue que si N es par, eliminas todas las cartas que ocupan posiciones pares (al hacer una sí y una no). Si es impar, eliminas las impares. De modo que si tenemos un número par de cartas, seguro que nos quedaremos con alguna que ocupaba una posición impar, y viceversa.

Mi intuición matemática no pudo llegar más lejos. Hay veces en que las cosas las ves así, fácilmente, pero otras en las que no te viene nada. Bueno, no pasa nada. Siempre hay un truco que, a pesar de no ser muy elegante, suele funcionar bastante bien. Consiste en probar una serie de posibilidades (en nuestro caso de valores de N) para ver si mis ojos pueden hacer el trabajo de reconocer patrones mejor que mi intuición matemática. Para ello eché mano del famoso MatLab, que ya me ha dado alguna entrada que otra.

Hice un pequeño programa que simulaba el Proceso 2 para diferentes valores de N, y como resultado da la posición de la carta con la que nos quedamos al final.

Einstein

Posición que ocupaba la carta final en el proceso 2 según el número de cartas totales (M=8)

 

Ahora sí se puede ver un patrón fácilmente reconocible. Lo que se ve es una escala decreciente de valores, comenzando por las potencias de 2. En el 1 tenemos el 1, en el 2 la siguiente potencia, el 21=2, y el siguiente decrece en 1. En el 5 vuelve a comenzar, ahora con la potencia siguiente: 22=4, y decrece hasta el 1. Y así sucesivamente.

Una vez reconocido este patrón, me dispuse a traducirlo al lenguaje matemático, y me quedó algo así:

image

Todo eso significa que, dada una cantidad de cartas N, la potencia de 2 más grande menor que N es la potencia n-ésima. Por ejemplo: Si N=5, la potencia de dos más alta menor que 5 es 22=4. Así que n=2. Una vez tenemos esa n (minúscula), si le quitamos a la potencia siguiente (N-1), tenemos la posición con la que nos quedamos. En el ejemplo: 22+1-(5-1)=4, como se ve en el gráfico anterior.

 

La clave de la victoria

Ahora sí que no hay quien nos pare. Hemos obtenido dos reglas: la primera para saber dónde acaba la carta que tenemos que adivinar, la segunda para saber que posición ocupa la carta con la que nos quedamos en el proceso 2. Si esas dos posiciones coinciden, significará que el juego saldrá bien. Pues veamos cuando coinciden y cuando no.

Einstein02

Trucos con éxito según el número de cartas (M=8)

 

Lo que se ve arriba son las dos reglas en un mismo gráfico. Cuando las posiciones predichas por las dos reglas coinciden, el truco sale bien (los círculos azules corresponden a la regla del proceso 1). Allí donde los círculos están rellenos de rojo, el truco tiene éxito. Ahora se entiende perfectamente por qué el número de cartas debía estar entre 4 y 8. Pero además, hemos descubierto que también funciona para 2 cartas, y para 24. 

 

Una generalización del truco

 

¿Cuál puede ser el siguiente paso? Pues, como decía un profesor de mi facultad, ‘lo que te pide el cuerpo’ es generalizar el problema lo máximo posible. Todo lo que hemos visto hasta ahora corresponde al juego de Einstein tal y como sale en el libro que os he comentado. Pero, ¿cómo depende el éxito del truco del número de movimientos del proceso 1?

Llamemos a ese número de movimientos M. Hasta ahora, todo lo que hemos hecho corresponde a M=8. Si pensáramos en un M cualquiera, la primera regla solo cambia en que debemos substituir el 8 por la M que sea, y los casos serían los siguientes:

  • N>M. En este caso la carta acaba en la posición P=M+1.
  • N<=M. En este caso, la posición se calcula con el resto R de la división M/N. Así que P=R+1, igual que antes.

La segunda regla no cambia en absoluto, porque solo dependía del número de cartas N. Ahora se pueden representar muchas combinaciones distintas de movimientos M y número de cartas N. Para cada una de esas combinaciones, se puede comprobar si el truco sale bien (las posiciones predichas por las reglas coinciden) o no. Y este es el resultado:

Einstein03

Combinaciones con éxito según los movimientos (M) y el número de cartas (N)

 

En le eje horizontal aparece el número de cartas, como antes, y en el vertical los movimientos. Los puntos verdes son las combinaciones de movimientos y cartas en las que el truco sale bien, y los rojos en las que sale mal.

La ‘magia’ se encuentra, sobretodo, en las zonas ‘planas’, es decir, los tramos donde hay una serie de puntos verdes en horizontal. Estos tramos significan que, para ese número de movimientos (por ejemplo el tramo de M=16), existe un intervalo de cartas para las que funciona el truco (de 8 a 16 en este caso). Al ser independiente del número de cartas en ese tramo, el truco sale bien incluso sin saber cuantas hay exactamente. Cuanto más grande es el intervalo horizontal, más margen tenemos en el número de cartas, pero más veces tendremos que moverlas de arriba a abajo en el primer proceso (más alto es M).  

Fijaos en el siguiente patrón: en cada columna (para cada N) siempre hay un número de rojas seguidas y una sola verde, de forma periódica. Por ejemplo, en la columna 2 hay una verde y una roja alternativamente. En la 3, hay dos rojas y una verde. En la 4, tres rojas y una verde. En la 5, cuatro rojas y una verde…Lo que sucede en los tramos horizontales es que se compensa perfectamente el aumento de rojas seguidas con el desfase en el comienzo.

En definitiva, ahora puedo hacer el truco en función del número de cartas que creo que tengo. Siempre habrá un número de movimientos que haga que el truco funcione independientemente del número de cartas (al menos en un tramo). Si por ejemplo quieres hacerlo con M=8, pero te das cuenta de que probablemente tengas más de 8 cartas, siempre puedes contar 16 veces, y acertarás siempre que no tengas entre 5 y 7.

Un tramo interesante es el de M=28, para el cual, con 4 cartas o menos, el truco siempre sale. Pero claro, habría que contar 28 veces en el proceso 1, y sería un poco pesado. Pero si por ejemplo sabes que alguien tiene 28 años, ¡aprovéchalo! Ahí está la gracia del mago, en aprovechar las ocasiones.

Bueno, después de todo me reitero en lo dicho, no hay nada como desvelar misterios, ahora si estoy satisfecho.

 


El Juego de Einstein es un juego de magia con cartas extraído del libro Roberto Superlight, de Roberto Giobbi.

2 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com:   Dicen que cuando desvelas un misterio, éste pierde su encanto. Al menos eso decían del arcoíris, cuando Newton lo destejió y concluyó que la luz blanca es en realidad la composición de los colores que vemos en él. Parafrase…..

  2. […] Destejiendo el Juego de cartas de Einstein  […]

¿Qué te parece?

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: