Diálogo Socrático sobre matemáticas, de Alfréd Rényi (y IV)

 

En este último diálogo hipotético ideado por el matemático Alfréd Rényi, Sócrates e Hipócrates continúan conversando sobre la utilidad de las matemáticas si tratan de cosas abstractas que solo existen en el pensamiento. La reflexión final sobre la importancia del pensamiento matemático y la lógica no sólo para hacer matemáticas, sino también para otros ámbitos, es muy interesante.

Puedes leer las tres primeras desde los siguientes enlaces:

Diálogo Socrático sobre matemáticas, de Alfréd Rényi (I)

Diálogo Socrático sobre matemáticas, de Alfréd Rényi (II)

– Diálogo Socrático sobre matemáticas, de Alfréd Rényi (III)



HIPÓCRATES: Querido Sócrates, me has ayudado a encontrar la respuesta a una pregunta que me parecía muy difícil. El propósito principal del matemático es explorar los enigmas y secretos del mar del pensamiento humano. Este existe independientemente del matemático individual, pero no de la humanidad en su conjunto. El matemático tiene una relativa independencia para inventar nuevos conceptos, como herramientas, y parece que lo pueda hacer a su elección; pero no es del todo libre para hacerlo, porque los nuevos conceptos deben ser útiles para su trabajo. El marinero puede construirse un barco como quera, pero obviamente no estará tan loco de hacerse un barco que pueda ser destrozado en la primera tormenta. Creo que ahora todo ha quedado claro.

SÓCRATES: Si ya lo ves todo claro, entonces intenta de nuevo responder a la pregunta: ¿Cuál es el  objeto de las matemáticas?

HIPÓCRATES: Llegamos a la conclusión de que a parte del mundo en el que vivimos hay otro, el del pensamiento humano, y que el matemático es como un valiente marinero que explora ese mundo sin retroceder ante los problemas, peligros y aventuras que le esperan.

SÓCRATES: Amigo mío, tu energía juvenil ha estado a punto de arrastrarme; pero me temo que la vehemencia de tu entusiasmo hace que pases por alto algunas cosas.

HIPÓCRATES: ¿Qué cosas?

SÓCRATES: No quisiera desilusionarte, pero me parece que todavía no hemos respondido a tu pregunta principal. No hemos dado respuesta a la pregunta: ¿Qué utilidad tiene la exploración del maravilloso mar del pensamiento humano?

HIPÓCRATES: Como siempre tienes razón, querido Sócrates. Pero, esta vez, ¿no podrías dejar tu método y decirme la respuesta directamente?

SÓCRATES: No, amigo mío, y aunque pudiera, no lo haría, en tu beneficio. Los conocimientos que se adquieren si tener que trabajarlos son prácticamente inútiles; sólo conocemos a fondo y de verdad aquello que hemos encontrado nosotros mismos, aunque sea con una cierta ayuda, como las plantas, que sólo pueden aprovechar el agua que absorben de la tierra con sus propias raíces.

HIPÓCRATES: Está bien, continuemos la búsqueda con el mismo método, pero al menos ayúdame haciéndome una pregunta.

SÓCRATES: Retrocedamos, y situémonos cuando habíamos establecido que los matemáticos no se ocupaban del número de abejas o de ovejas o de cualquier otra cosa existente, sino de los números en si mismos. De todos modos, ¿no crees que todo lo que los matemáticos descubran sobre los números puros será válido también para los números de las cosas existentes? Por ejemplo, los matemáticos encuentran que 17 es un número primo. ¿De acuerdo con que de esto resulta que no podemos repartir 17 ovejas reales entre diversas personas reales dando a cada una el mismo número de ovejas, si no hay 17 personas y les damos una oveja a cada una? 

HIPÓCRATES: Eso es cierto, obviamente.

SÓCRATES: Bien, ¿y de la geometría, qué? ¿No puede aplicarse a la construcción de casas, la fabricación de cerámica o el cálculo de la cantidad de grano que puede cargarse en un barco?

HIPÓCRATES: Se puede, y de hecho se aplica, aunque creo que para las necesidades prácticas de los artesanos no hace falta demasiada  matemática. Las reglas más sencillas, ya conocidas por los escribanos de los faraones de Egipto, son suficientes para muchos de sus objetivos, y los nuevos descubrimientos de los que Teeteto hablaba entusiasmado no se usan en la práctica, ni le hacen falta a nadie.

SÓCRATES: Puede que aún no, pero lo puede ser en el futuro.

HIPÓCRATES: A mi me interesa el presente.

SÓCRATES: Si quieres ser matemático, debes convencerte de que trabajas para el futuro. pero volvamos a la cuestión principal. Hemos visto que los conocimientos sobre un mundo diferente, el del pensamiento humano, sobre las cosas que no existen en el sentido habitual de la palabra, pueden ser útiles en la vida de cada día para responder a preguntas sobre el mundo real. ¿No es sorprendente?

HIPÓCRATES: Yo aún diría más, es casi incomprensible, un milagro.

SÓCRATES: puede que no sea tan misterioso como eso, al final; y si abrimos la ostra de esta cuestión encontraremos una auténtica perla.

HIPÓCRATES: Por favor, querido Sócrates, no hables con enigmas como la Pitonisa.

SÓCRATES: Dime: si alguien que haya viajado muy lejos, habiendo visto y experimentado muchas cosas, vuelve a su ciudad y con su experiencia da sabios consejos a sus conciudadanos, ¿lo encontrarías algo sorprendente?

HIPÓCRATES: Para nada.

SÓCRATES: ¿Aunque los países que haya visitado sean muy lejanos y viva gente muy diferente, que hablen otra lengua y adoren a otros dioses?

HIPÓCRATES: Aún así, porque gente diferente tienen muchas cosas en común.

SÓCRATES: Ahora dime: si resultase que el mundo de la matemática es, a pesar de sus peculiaridades, similar en cierto sentido al mundo real, ¿seguirías encontrando milagroso que la matemática se pudiera aplicar al estudio del mundo real?

HIPÓCRATES: En este caso, no. Pero no veo ningún parecido entre el mundo real y el mundo imaginario de la matemática.

SÓCRATES: ¿Ves aquella roca al otro lado del rio, allí donde se ensancha y forma un lago?

HIPÓCRATES: La veo.

SÓCRATES: ¿Y ves la imagen de la roca reflejada en el agua?

HIPÓCRATES: Evidentemente que la veo.

SÓCRATES: Pues dime: ¿que diferencia hay entre la roca y su imagen reflejada?

HIPÓCRATES: la roca es un trozo compacto de un material duro. El Sol la calienta. Si la tocamos, notaremos que es áspera. La imagen reflejada no se puede tocar; si queremos pasar la mano por encima, sólo tocaremos el agua. De hecho la imagen reflejada no existe realmente, es una ilusión, nada más.

SÓCRATES: ¿y hay alguna cosa en común, entre la roca y su imagen?

HIPÓCRATES: Bien, en cierto sentido, la imagen reflejada es una reproducción fiel de la roca. En la imagen puede verse claramente su contorno, incluso las pequeñas protuberancias. ¿Pero, todo esto, a qué viene? ¿Quieres decir que el mundo de la matemática es una imagen del mundo real, reflejada por el espejo de nuestro pensamiento?

SÓCRATES: tú lo has dicho, y muy bien, por cierto.

HIPÓCRATES: Pero, ¿cómo es posible eso?

SÓCRATES: Recordemos cómo dijimos que se han desarrollado los conceptos abstractos de la matemática. Dijimos que los matemáticos se ocupan de los números puros, y no de los números de los objetos reales. Ahora bien, ¿crees que alguien que no hubiese contado nunca objetos reales podría entender la noción abstracta de número? Cuando un niño empieza a contar, primero cuenta palitos o piedras; sólo cuando sepa que dos piedras y tres piedras hacen cinco, y que pasa lo mismo con los palitos o las monedas, podrá entender que dos y tres son cinco. Con la geometría, la situación es esencialmente la misma. El niño llega a la noción de esfera a través de experiencias con objetos redondos, como pelotas. La humanidad ha desarrollado todas las nociones de la matemática de forma similar. Estas nociones han cristalizado a partir del conocimiento del mundo real, así que es natural, y no debe sorprendernos, que lleven aspectos de su origen, así como los niños que crecen se parecen a sus progenitores.  Y de la misma manera que cuando los niños crecen son un ayuda para sus padres, cualquier rama de la matemática, si llega a desarrollarse lo suficiente, se convertirá en una herramienta útil para la exploración del mundo real.

HIPÓCRATES: Ahora sí veo claramente cómo podemos utilizar en la vida diaria los conocimientos de cosas inexistentes del mundo de la matemática. Me has hecho un gran favor ayudándome a entender esto.

SÓCRATES: Pues yo te envidio, querido Hipócrates, porque a mí todavía me maravilla una cosa que me gustaría resolver, quizás tú me puedas ayudar.

HIPÓCRATES: Lo haría encantado pero temo que te estés burlando de mí una vez más. no me avergüences pidiéndome ayuda, dime claramente cuál es el problema que se me pasa por alto. 

SÓCRATES: Tú mismo lo descubrirás si si intentas resumir los resultados de nuestra discusión.

HIPÓCRATES: Bien, habíamos aclarado por qué la matemática puede producir conocimientos seguros sobre el mundo diferente del que vivimos, sobre el mundo de los pensamientos humanos, y entonces faltaba la pegunta: ¿qué utilidad tiene este conocimiento? Hemos encontrado que el mundo de la matemática no es más que una imagen del mundo real, reflejada en nuestro entendimiento, y eso nos aclara que los descubrimientos sobre el mundo de la matemática nos dan información sobre el mundo real. Esta respuesta me ha satisfecho del todo.

SÓCRATES: Si te digo que la respuesta no acaba de ser completa, no lo hago para confundirte, sino porque estoy seguro que tarde o temprano tú mismo te hubieras percatado de la cuestión, y entonces me hubieras recriminado el no haberte hecho caer. Deberías preguntarme: <<Dime, Sócrates, ¿qué sentido tiene estudiar la imagen si podemos estudiar el objeto mismo?>>.

HIPÓCRATES: Bien, tienes toda la razón, es una pregunta natural. Eres un mago Sócrates. Puedes confundir totalmente a alguien con pocas palabras, y con una inocente pregunta puedes enterrar todo el edificio que hemos construido con tanto cuidado. Naturalmente, yo debería responder que si podemos ver la original no tiene ningún sentido contemplar la imagen reflejada. Pero estoy seguro que esto simplemente quiere decir que nuestra analogía falla en este punto. Seguro que hay una respuesta, pero no se como encontrarla.

SÓCRATES: Tu supuesto es correcto. La paradoja a salido al querer seguir demasiado estrictamente la analogía de la imagen reflejada. Una analogía es como un arco; si lo estiras mucho te fallará. Dejémosla y cojamos otra. Tú ya debes saber que los marineros y la gente que viaja hace un buen uso de los mapas.

HIPÓCRATES: Yo mismo los he usado. ¿Quieres decir que la matemática ofrece un mapa del mundo real?

SÓCRATES: Tú lo has dicho. Ahora, podrías responder a la pregunta siguiente: ¿qué ventajas tiene el hecho de mirar el mapa en lugar del paisaje?

HIPÓCRATES: Está claro: mirando el mapa abarcamos distancias largas, que tardaríamos semanas o meses a recorrer. El mapa no nos muestra todos los detalles, sino sólo los más importantes, y justo por eso nos puede servir para preparar un largo viaje.

SÓCRATES: Muy bien. Pero se me ha ocurrido otra cosa.

HIPÓCRATES: ¿Cuál?

SÓCRATES: Hay otra razón que hace útil el estudio de la imagen matemática de mundo. Cuando el matemático descubre una propiedad del círculo, eso nos da automáticamente una información sobre cualquier objeto de forma circular. De esta forma el método de la matemática nos permite ocuparnos a la vez de cosas distintas.

HIPÓCRATES: ¿Y qué te parecen estas analogías? El que contempla una ciudad desde lo alto de una montaña cercana se hace una idea de conjunto mejor que caminando por sus calles; el general que observa desde un altiplano los movimientos del ejército enemigo tiene una visión más clara de la situación que el soldado que, desde su trinchera, sólo ve lo que tiene delante.

SÓCRATES: Perfecto, en esto de inventar símiles me superas; pero yo no quiero quedarme atrás, así que déjame añadir una anécdota: hace poco estaba mirando una pintura de Aristofonte, hijo de Aglaofonte, y el pintor me advirtió: <<Sócrates, si te acercas tanto al cuadro sólo verás manchas de color, no la pintura entera>>.

HIPÓCRATES: Obviamente, tienes razón; y también la tenías en no dejarme terminar la discusión sin llegar al fondo de la cuestión. De todas formas, me parece que ya es hora de volver a la ciudad, que ya va oscureciendo y tengo sed y hambre. Si tienes algo más de paciencia, me gustaría preguntarte una cosa mientras vamos caminando hacia la ciudad.

SÓCRATES: Muy bien, vayamos, y tú hazme la pregunta.

HIPÓCRATES: Nuestra conversación me ha convencido totalmente de que debo ponerme a estudiar matemáticas, y por ese motivo te lo agradezco. Pues bien, dime: ¿por qué tú no haces matemáticas? Teniendo en cuenta la profunda comprensión que tienes de su verdadera naturaleza y de su importancia, apostaría a que si tu te dedicaras a ello podrías superar a todos los otros matemáticos de Grecia. Estaría muy contento de ser discípulo tuyo, si me aceptaras.

SÓCRATES: No, querido Hipócrates, ese no es mi oficio. Teodoro sabe mucha más matemática que yo, no encontrará un maestro mejor. Sobre la pregunta de por qué no soy matemático, te diré los motivos. Nunca he disimulado la alta opinión que la matemática me merece. Pienso que nosotros, los griegos, no hemos hecho progresos en ningún otro arte como en las matemáticas, y esto sólo es el comienzo; si no nos exterminamos a nosotros mismos en guerras estúpidas, obtendremos resultados maravillosos como descubridores y como inventores. Me has preguntado por qué no me sumo a los que desarrollan esta ciencia maravillosa. De hecho, yo también soy como un matemático, pero de otra clase. Hace muchos años una voz interior, llámalo un oráculo, que siempre escucho atentamente, me preguntó: <<¿Cuál es la clave de los adelantos que los matemáticos han hecho en su noble ciencia?>>. Y yo respondí: <<Pienso que la clave de los éxitos de la matemática está en su método: la elevada perfección de su lógica, su lucha sin concesiones hacia la completa verdad, su hábito de empezar siempre a partir de unos principios y de definir con precisión todas las nociones que usan, evitando las contradicciones.>> Mi voz interior me contestó: <<Muy bien, ¿pero tú piensas, Sócrates, que este método de pensar y razonar sólo se puede usar para estudiar los números y las formas geométricas? ¿Por qué no intentas convencer a tus conciudadanos que apliquen el mismo rigor en todos sus asuntos, por ejemplo en filosofía y en política, en la discusión de los problemas de cada día, ya sean públicos o privados?>>. Esto es lo que he estado intentando desde entonces. He hecho ver –recuerda nuestra conversación con Protágoras, por ejemplo- que muchos considerados sabios en general acostumbran a ser unos pobres ignorantes, y que ninguno de sus  argumentos tiene un fundamento sólido, ya que usan –al contrario que los matemáticos- un conjunto de nociones no definidas y que solo entienden a medias. Con esta actitud he conseguido convertirme en un enemigo casi de todos. Esto no tiene nada de raro, porque soy como un retrato viviente para todos los que tienen pereza de pensar y se conforman simplemente usando ideas oscuras. A la gente no le gusta que le recuerden constantemente los defectos que no puede o no quieren corregir. Llegará un día que toda esa gente se me tirará encima y me borrarán del mapa. Pero mientras eso no pase yo continuaré siguiendo mi llamada. De todas formas, tú vete con Teodoro.

 

-Fin-

 

 


Este texto esa una traducción mía de una versión en catalán que podéis encontrar aquí, escrita por Josep María Font, en un Boletín de la Sociedad Catalana de Matemáticas.

2 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

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