Diálogo Socrático sobre matemáticas, de Alfréd Rényi (I)

Estoy haciendo una asignatura en la que se mezclan la historia de las matemáticas con filosofía y con algo de teoría matemática, en la antigua Grecia. Todo de una forma relajada y sin entrar en detalles. Gracias a esto, he conocido este fantástico diálogo hipotético entre Sócrates y Hipócrates (no el famoso médico, sino otro), escrito por el matemático Alfréd Rényi (1921-1970).

Es una forma sencilla y formidable de entender qué son las matemáticas, y posiblemente también para contestar la eterna pregunta que muchos niños se hacen en primaria: ¿Para qué sirven las matemáticas? Dividiré la entrada en varias partes para que no se haga pesado. Espero que lo disfrutéis tanto como yo.

 

SÓCRATES: ¿Buscas a alguien, querido Hipócrates?

HIPÓCRATES: No, Sócrates, ya lo he encontrado, eras tú. Te he buscado en muchos sitios. En el ágora me han dicho que te habían visto paseando por la orilla del Ilissos. Así, siguiéndote el rastro, he venido hasta aquí.

SÓCRATES: Pues adelante, dime por qué has venido. Después, me gustaría preguntarte una cosa sobre nuestra discusión con Protágoras. ¿Todavía lo recuerdas?

HIPÓCRATES: ¿Y me lo preguntas? Desde entonces no ha pasado ni un día si que piense en ello. He venido a pedirte consejo precisamente porque no me puedo sacar de la cabeza aquella conversación.

SÓCRATES: Me parece, querido Hipócrates, que quieres hablar sobre lo mismo que te quiero preguntar. Las dos cosas, pues, han resultado ser una sola. Parece que los matemáticos se equivocan cuando dicen que dos no es igual a uno.

HIPÓCRATES: Sócrates, eres un brujo; precisamente quería hablar contigo sobre matemáticas.

SÓCRATES: Querido Hipócrates, sabes muy bien que no soy un matemático; ¿porqué no diriges tu pregunta al famoso Teodoro?

HIPÓCRATES: Me sorprendes, Sócrates: eres capaz de responder mis preguntas incluso antes de que te las haga. He venido a preguntarte qué te parecería si me hiciera discípulo de Teodoro. La otra vez, cuando quería hacerme discípulo de Protágoras y fuimos juntos a verlo, llevaste la conversación de tal forma que quedó claro que Protágoras no sabe ni qué es lo que enseña. Por eso me lo pensé y no le seguí. Aquella discusión me ayudó a ver qué era lo que no tenía que hacer, pero no me enseñó qué debía hacer. Todavía me lo estoy pensando. Voy a banquetes y al gimnasio con grupos de chicos de mi edad, y podría decir que me lo estoy pasando bien, pero eso no me acaba de satisfacer. Me molesta sentirme como un ignorante. Lo que quiero decir es que noto que los conocimientos que tengo son francamente inseguros. En la discusión con Protágoras me di cuenta que lo que se de nociones tan familiares como la virtud, la justicia o el coraje está lejos de ser satisfactorio. Con todo, creo que dado un paso adelante, porque ahora veo claramente mi ignorancia.

SÓCRATES: Me alegra, querido Hipócrates, que me entiendas tan bien. Siempre digo abiertamente que yo no se nada de nada. Lo que me diferencia de mucha otra gente es que yo no pienso que se lo que en realidad no se.

HIPÓCRATES: Eso demuestra tu sabiduría, Sócrates. Pero esa manera de saber no me satisface. Deseo  con vehemencia conocimientos ciertos y sólidos, y no seré feliz hasta que los consiga. Constantemente medito sobre que clase de conocimientos debo intentar alcanzar. Hace poco Teeteto me dijo que la certeza solo se consigue con las matemáticas, y me sugirió que las aprendiera de su maestro, Teodoro, que, según él, es el mejor experto de Atenas en números y geometría. Pero no quiero volver a caer en el mismo error que cuando quería ser discípulo de Protágoras. Por tanto, querido Sócrates, dime: aprendiendo matemáticas con Teodoro, ¿encontraré o no este conocimiento seguro que estoy buscando?

SÓCRATES: Si tú, hijo de Apolodoro, quieres aprender matemáticas, entonces realmente lo mejor que puedes hacer es ir con mi muy apreciado amigo Teodoro. Pero debes ser tú quien decida si realmente quieres aprender matemáticas o no. Nadie puede saber qué necesitas mejor que tú mismo.

HIPÓCRATES: ¿Porqué te resistes a ayudarme, Sócrates? Acaso te he ofendido sin querer?

SÓCRATES: Me interpretas mal, mi joven amigo. No estoy para nada enfadado; sencillamente, me pides una cosa imposible para mi. Todos deben decidir por si mismos lo que quieren hacer. Todo lo que puedo hacer yo es ayudarte a dar a luz a tu decisión, como una matrona.

HIPÓCRATES: Te lo suplico, querido Sócrates, no me niegues esta ayuda, y si te va bien comencemos ahora mismo.

SÓCRATES: Bien, si quieres, sentémonos a la sombra de este plátano y empecemos. Pero antes de nada, dime: ¿estás dispuesto a llevar la conversación como me gusta a mí? Yo te haré preguntas y tú responderás. Ya sabes que de una conversación así todo lo que conseguirás será ver más claramente aquello que ya sabías, para hacer florecer las semillas del conocimiento que ya estaban en tu mente. Espero que no hagas como el rey Darío, que asesinó al encargado de sus minas porque solo había sacado cobre de una mina que el rey pensaba que contenía oro. Supongo que no olvidarás que ningún minero puede encontrar en una mina nada más que lo que la mina contiene.

HIPÓCRATES: Te juro que no me quejaré, pero, por Zeus, ¡comencemos las excavaciones de una vez!

SÓCRATES: Muy bien. Entonces dime: ¿Sabes qué es la matemática? Supongo que debes saber que es lo que quieres estudiar.

HIPÓCRATES: Creo que todos los niños lo saben. La matemática es una ciencia, una de las más excelentes.

SÓCRATES: No te he pedido que alabes la matemática, sino que me describas su naturaleza. Por ejemplo, si yo te preguntase por el arte de los médicos, tú me dirías que ese arte se ocupa de la salud y de la enfermedad, y que su objetivo es curar a los enfermos y preservar la salud. ¿De acuerdo?

HIPÓCRATES: Evidentemente.

SÓCRATES: Entonces, dime: ¿el arte de los médicos trata de aquello que existe o de lo que no existe? Si no hubiera médicos, ¿existirían las enfermedades?

HIPÓCRATES: Evidentemente, e incluso más que ahora.

SÓCRATES: Consideremos ahora otro oficio, por ejemplo el de los astrónomos. ¿Estás de acuerdo conmigo que los astrónomos estudian el movimiento de las estrellas?

HIPÓCRATES: Por supuesto.

SÓCRATES: Y si te pregunto si la astronomía trata de cosas que existen, ¿cuál sería tu respuesta?

HIPÓCRATES: Sería afirmativa.

SÓCRATES: ¿Existirían las estrellas si no hubiera ningún astrónomo en toda la Tierra?

HIPÓCRATES: Evidentemente. Y si Zeus con toda su cólera exterminara a toda la humanidad, las estrellas seguirían brillando en el cielo, de noche. Pero, ¿porqué hablamos de astronomía, y no de matemáticas?

SÓCRATES: No seas impaciente, mi buen amigo. Consideremos algunas otras artes, para compararlas con las matemáticas. ¿Cómo llamas al hombre que conoce todos los seres que viven en los bosques o en las profundidades marinas?

HIPÓCRATES: Le llamaría científico, un estudiosos de la naturaleza viva.

SÓCRATES: ¿Y afirmas que ese hombre estudia cosas que existen?

HIPÓCRATES: Lo afirmo.

SÓCRATES: ¿Y si digo que todo arte u oficio se ocupa de cosas que existen, estás de acuerdo?

HIPÓCRATES: Completamente.

SÓCRATES: Entonces dime, joven amigo, ¿cuál es el objeto de las matemáticas, cuáles son las cosas que estudia el matemático?

HIPÓCRATES: Eso mismo le pregunté yo a Teeteto, y me dijo que la matemática estudia números y formas geométricas.

SÓCRATES: Bien, la respuesta es clara, pero, ¿tú dirías que estas cosas existen?

HIPÓCRATES: Por descontado. ¿Cómo podríamos hablar de ellas, si no existieran?

SÓCRATES: Entonces dime: si no hubiera matemáticos, ¿habrían números primos? ¿Sí? ¿Y dónde estarían?

HIPÓCRATES: Realmente, no se que responderte. Está claro que si los matemáticos piensan en los números primos es que estos deben existir es su consciencia, pero si no hubiera matemáticos los números primos no estarían en ningún sitio.

SÓCRATES: ¿Quieres decir que debemos admitir que los matemáticos estudian cosas inexistentes?

HIPÓCRATES: Sí, creo que deberíamos admitirlo.

SÓCRATES: Mirémonos la cuestión desde otro ángulo. Fíjate, he escrito el número 39 en esta mesa encerada. ¿Lo ves?

HIPÓCRATES: Sí, lo veo.

SÓCRATES: ¿Y lo puedes tocar con la mano?

HIPÓCRATES: Evidentemente.

SÓCRATES: O sea, que a pesar de todo puede que sí existan los números?

HIPÓCRATES: Sócrates, quieres burlarte de mí. Mira esto, he dibujado en la misma mesa un dragón con siete cabezas. ¿Significa eso que este dragón existe? No conozco a nadie que haya visto un dragón, y de hecho estoy convencido que los dragones no existen, excepto en los cuentos de hadas. Pero incluso suponiendo que o estuviera equivocado y que en algún lugar más allá de las Columnas de Hércules hubiera dragones, eso no tendría nada que ver con mi dibujo.

SÓCRATES: Tienes razón, Hipócrates, y estoy completamente de acuerdo contigo. ¿Esto quiere decir que, a pesar de que podamos hablar de ellos y los podamos escribir, los números en realidad no existen?

HIPÓCRATES: Evidentemente.

SÓCRATES: No nos precipitemos a sacar conclusiones. Hagamos otro intento. ¿Acierto si digo que podemos contar las ovejas que hay aquí en el prado, o las abejas de aquella colmena de allí?

HIPÓCRATES: Sí, podemos hacerlo.

SÓCRATES: ¿Y las ovejas y abejas existen?

HIPÓCRATES: Claramente.

SÓCRATES: Per, si las ovejas existen, entonces su número debe existir, ¿no?

HIPÓCRATES: Te burlas de mí, Sócrates. Los matemáticos no cuentan ovejas; eso es tarea de los pastores.

SÓCRATES: ¿Quieres decir que aquello que los matemáticos estudian no son los números de las ovejas o las abejas, o de otras cosas existente, sino que estudian los números en si mismos, y que por lo tanto se ocupan de una cosa que solo existe en su cabeza?

HIPÓCRATES: Sí, eso es lo que quiero decir.

SÓCRATES: Antes me has dicho que, según Teeteto, los matemáticos estudian números y formas geométricas. ¿Qué pasa con las formas? Si te pregunto si las formas existen, ¿qué me respondes?

HIPÓCRATES: Evidentemente que existen. Podemos ver la forma de una ánfora bonita, por ejemplo, y también apreciarla con nuestras manos.

SÓCRATES: No obstante, tengo un problema: si miras una ánfora; ¿qué ves, la ánfora misma, o su forma?

HIPÓCRATES: Veo las dos cosas al mismo tiempo.

SÓCRATES: Es lo mismo que mirar un cordero: ves el cordero y también ves la lana, ¿verdad?

HIPÓCRATES: Encuentro la comparación muy acertada.

SÓCRATES: Pues yo esta comparación la encuentro tan coja como Hefesto. Podemos esquilar al cordero y veremos por separado el cordero sin su lana, y la lana sin el cordero. ¿Tú podrías separar de manera similar la ánfora y su forma?

HIPÓCRATES: Evidentemente que no, y me atrevería a decir que nadie lo puede hacer.

SÓCRATES: Y, a pesar de todo, ¿sigues creyendo que puedes ver una forma geométrica?

HIPÓCRATES: Estoy empezando a dudarlo.

SÓCRATES: Además, si los matemáticos estudiasen la forma de la ánforas, ¿no los llamaríamos ceramistas?

HIPÓCRATES: Evidentemente.

SÓCRATES: Si los matemáticos estudiasen la forma de las ánforas, ¿no sería Teodoro el mejor ceramista? He oído a mucha gente alabándolo, pero nadie ha dicho nunca que sepa nada de cerámica. De hecho, dudo que pueda hacer el recipiente más simple. ¿O acaso los matemáticos se ocupan de las formas de las estatuas, o de los edificios?

HIPÓCRATES: Si lo hicieran serían escultores o arquitectos.

SÓCRATES: Bien, amigo mío, hemos llegado a la conclusión de que los matemáticos, al estudiar geometría, no tratan de las formas de objetos existentes, como las ánforas, sino de formas que existen solo en su pensamiento.  ¿De acuerdo?

HIPÓCRATES: Por fuerza.

SÓCRATES: Ahora que hemos establecido que los matemáticos se ocupan de cosas que existen solamente en su pensamiento, examinemos la afirmación de Teeteto que has mencionado, que la matemática nos aporta conocimientos más fiables y dignos de confianza que cualquier otra ciencia. Dime, ¿te puso algún ejemplo?

HIPÓCRATES: Sí, por ejemplo me dijo que no podemos saber exactamente cuanto hay de Atenas a Esparta. Evidentemente la gente que ha ido coincide en el número de jornadas de camino, pero es imposible saber exactamente la distancia en pies. Por otro lado, gracias al teorema de Pitágoras, podemos decir cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado. También dijo que es imposible dar un número exacto de gente que vive en Grecia. Si alguien intenta contar a toda la gente, nunca tendría la cantidad exacta, porque mientras fuese contando, algunos ancianos morirían y nacerían algunos niños, de forma que el número total sería correcto solo aproximadamente. En cambio, si preguntas a un matemático cuantas aristas tiene un dodecaedro regular, te dirá que el dodecaedro tiene 12 caras, cada una con 5 aristas, en total 60; pero como cada arista ha estado contada dos veces, porque pertenece a dos caras, el número de aristas del dodecaedro regular es 30, y esta cifra esta fuera de toda duda.

SÓCRATES: ¿Añadió más ejemplos?

HIPÓCRATES: Muchos más, pero no los recuerdo todos. Dijo que en la realidad nunca hay dos cosas exactamente iguales. No hay dos huevos que sean exactos; hasta las columnas del templo de Poseidón son ligeramente diferentes unas de otras, pero en cambio podemos estar seguros que las dos diagonales de un rectángulo son exactamente iguales. Citó a Heráclito, que decía que todo lo que existe cambia constantemente, y que el conocimiento seguro solo es posible para las cosas que no cambian nunca, como por ejemplo los pares e impares, la línea recta y el círculo.

SÓCRATES: Con eso tengo suficiente. Estos ejemplos me han convencido de que en matemáticas podemos conseguir unos conocimientos que están fuera de duda, cosa imposible con otras ciencias o la vida de cada día. Ahora, resumamos los resultados de nuestra investigación sobre la naturaleza de la matemática. ¿Hablo bien si digo que hemos llegado a la conclusión que la matemática estudia cosas que no existen y llega a conocer toda la verdad sobre ellas?

HIPÓCRATES: Sí eso es lo que hemos establecido.

Aquí la continuación del diálogo…



Este texto esa una traducción mía de una versión en catalán que podéis encontrar aquí, escrita por Josep María Font, en un Boletín de la Sociedad Catalana de Matemáticas.



4 comentarios

  1. Información Bitacoras.com…

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  2. […] Ésta es la continuación del diálogo hipotético sobre las matemáticas ideado por el matemático Alfréd Rényi, entre Sócrates e Hipócrates. La primera parte la podéis ver aquí. […]

  3. […] la ciencia, y dos de ellas de historia de las matemáticas. El pasado año escribí las entradas ‘Diálogo Socrático sobre matemáticas’, gracias precisamente a una de esas asignaturas, y con esta entrada quiero volver a escribir […]

  4. […] porque en gran medida son cosas que se descubren, no se inventan. Sobre eso mismo trataba el diálogo Socrático que compartí en este blog hace tiempo, y que recomiendo a todo aquel al que le interese la filosofía de las matemáticas. Ese mundo […]

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