Raíz cuadrada a mano (demostración)

Así es como NO se hace

En estas dos semanitas que he tenido de descanso me he puesto matemático-nostálgico (sí, hago mates en vacaciones, ¿qué pasa?) y me he propuesto recordar aquel método que me enseñaron allá por 5º de EGB para hacer raíces cuadradas a mano. Nunca se sabe cuando algo así puede serte útil. El caso es que ya hace tiempo que lo pensaba, pero dejé el tema aparcado. Ahora, con un poco de ayuda de internet, todo hay que decirlo, he querido encontrar una regla lo más general posible para calcular con solo papel y bolígrafo la raíz cuadrada de cualquier número (positivo claro). Si os sentís tan matemático-nostálgicos como yo, seguid leyendo. Si en cambio preferís ver únicamente los pasos, y no la demostración, visitad esta otra entrada.

 

Explicación del método

 

Quizás el aporte más importante de esta entrada se encuentre en esta parte, ya que cuando nos enseñan el método en primaria no nos explican su justificación. Y cuando tenemos edad para entender el método, entonces ya utilizamos calculadora para estas cosas, y nadie más se lo pregunta.

Voy a usar como ejemplo un número entero de 3 cifras, en general formado por las cifras a2, a1 y a0. Los números (en base decimal) se pueden expresar como una combinación de potencias de base 10 de sus cifras. Por ejemplo, el número 845 se puede escribir como 8*102 + 4*101+ 5*100 = 8*100+4*10+5*1. En general,

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Ec. 1

Una primera condición que deben cumplir estas cifras es que deben ser todas números enteros. Además a2 debe ser positivo, nunca cero (para tener siempre 3 cifras), mientras que los otros dos pueden ser positivos o cero. A este número le llamaremos A, y queremos calcular su raíz cuadrada. Eso significa que queremos otro número que al multiplicarlo por él mismo de como resultado A.

De ese número ya podemos saber algo seguro, y es que tendrá dos cifras enteras (y luego muy posiblemente decimales). Esto se ve fácilmente si se piensa en el número A más pequeño posible, el 100. Su raíz es 10, por lo tanto cualquier otro número de 3 cifras seguro que tiene una raíz cuadrada de como mínimo 2 cifras. Pero además la raíz de 10.000 es 100, así que cualquier número A menor que 10.000 (incluidos los de 3 cifras) tendrá una raíz menor que 100 (es decir, de 2 cifras). Sabiendo esto, podemos escribir el resultado de hacer la raíz de A como sigue:

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Ec. 2

El número B está formado por la parte entera de la raíz de A tiene las dos cifras b1 y b2, y r que es un número menor que 1 (los decimales). Como antes, las cifras de B son enteras y positivas (y b1 no es cero). Si nos centramos en el segundo término, se puede desarrollar dejándolo de la siguiente forma:

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Ec. 3

La primera parte de la suma es el cuadrado de la parte entera de B. Al cuadrado de un entero le llamaremos cuadrado perfecto. Lo son el 144, el 169… y es el tipo de número de la primera parte del segundo término de la derecha (puede ser de 3 o 4 cifras, según sea B).

La segunda parte de la suma es lo que “le falta” a la primera para ser A. Llamaremos a esa diferencia el resto R=A-B2,

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Ec. 4

Una observación sobre R es que debe ser un número entero, puesto que A y B lo son.

 

Algunas propiedades


Ahora haré un pequeño paréntesis para explicar una propiedad muy sencilla pero curiosa sobre los cuadrados perfectos consecutivos, que nos servirá para otra característica de R.

Resulta que si pensamos en dos números enteros consecutivos los que sea, a y (a+1), la diferencia entre sus cuadrados (que serán cuadrados perfectos) es la suma de los números consecutivos. Esto puede servir para saber fácilmente cuál es el siguiente cuadrado perfecto conociendo uno.

Por ejemplo, si sabemos que 144 es el cuadrado de 12, el siguiente será: 144+(12+13)=169 (el cuadrado de 13). Y el siguiente: 169+(13+14)=196 (el cuadrado de 14). Parece sorprendente, pero la demostración es muy sencilla:

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Ec. 5

Sabiendo esta propiedad, y teniendo en cuenta que A=B2+R por la definición anterior de R, se pueden diferenciar dos casos:

  • A es cuadrado perfecto. En ese caso será R=0, ya que de hecho r=0 (no tienes decimales al hacer la raíz, ya que es un entero por definición de cuadrado perfecto).
  • Si no tienes la suerte de que A sea cuadrado perfecto, lo cuál es muy probable, entonces habrá una cierta R. Y esa R, por la propiedad comentada antes, es necesariamente menor que 2B+1. O dicho de otra forma, R está acotada superiormente ya que B2+R no puede llegar a ser el cuadrado perfecto siguiente, el (B+1)2.

En resumen: B será siempre el mayor entero cuyo cuadrado (perfecto) sea menor que A, y lo que le falte a ese cuadrado para ser A sea un resto R (entero) menor que 2B+1. De hecho la propiedad de la acotación de R no es algo que debamos “imponer”, si no que se cumple por definición. En efecto, R no puede ser mayor que 2B+1, ya que r<1, 2B·r siempre será menor que 2B y r2 siempre será menor que 1. De modo que R=2B·r+r2 < 2B+1.

Otra propiedad importante es la relación existente entre diferentes potencias de 10 de un número y su raíz cuadrada. Si multiplicas (o divides) un número por una potencia 2n-ésima (par) de 10, su nueva raíz será la anterior multiplicada (o dividida) por una potencia n-ésima de 10. Casi se ve mejor con la formula:

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Ec. 6

Siempre podremos dividir nuestro numero A por potencias pares de 10 hasta llegar a una parte entera lo mas sencilla posible (de una o dos cifras) y empezar a partir de ahí, para luego deshacer el cambio. En nuestro caso de tener 3 cifras, al dividir entre 100 nos quedará siempre una parte entera de valor a2. Por aquí es por donde empezaremos a calcular B.

 

Cálculo de b1


Los números posibles de B son limitados. De hecho hay tan sólo 22. Desde 10 (que recordemos era el menor que podría dar un cuadrado de 3 cifras) hasta 31 (que es la mayor parte entera que da un cuadrado de 3 cifras). Las decenas de B (b1) determinan el valor de a2. Por ejemplo, al dividir 845 entre 100, tenemos 8,45. La raíz de este número tendrá una parte entera de una única cifra. Por la propiedad anterior sabemos que la raíz de 845 es la de 8,45 multiplicada por 10. Es decir, aquella única cifra de la parte entera de la raíz de 8.45 se convierte en el valor b1 de la raíz de 845.

Para saber b1 es necesario calcular la raíz de la cifra de más peso de A, a2, para la que solo se necesita conocer la tabla de multiplicar. O incluso menos que eso, ya que b1 siempre será 1, 2 o 3. En el ejemplo anterior de 845, a2=8 y b1=2 (8 está entre 4 y 9, cuadrados perfectos de 2 y 3).

 

Cálculo de b0

 

Escribiremos la ecuación 3 de la siguiente forma por comodidad:

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Ec. 7

Ahora ya conocemos b1, pero R sigue siendo una incógnita porque incluye los infinitos decimales r que tenga nuestra solución. Aun así podemos establecer una relación entre A y el primer sumando, y es que seguro que A será mayor, (porque los dos términos de la suma son positivos):

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Ec. 8

Restando a los dos lados el primer sumando b12 · 100, tenemos:

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Ec. 9

En el ejemplo que hemos estado usando, el término de la izquierda quedaría 845 – (22·100)=445. Ahora es cuestión de buscar las b0 lo más altas posible que cumplan la inecuación anterior (y que sean enteras, claro). Para ello podemos usar una cota superior y bajar desde ahí. Un valor posible es:

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Ec. 10

Este número (con decimales) es siempre mayor que b0, como se comprueba si se sustituye en el primer b0 de la ecuación 9. La parte entera de la división anterior es un buen punto de partida. Si cumple la inecuación, se escoge como b0, si no se cumple, se prueba con el entero inferior. En el ejemplo que usamos, la división anterior es 445/(2·20)=11,125. Cuando el número es superior a 9, se puede probar directamente con el 9. Si queréis podéis probar con el 11 y el 10 y veréis que no cumple al inecuación. Con el 9, la inecuación queda 445>2·20·9+92=441, que se cumple. Por lo tanto en el ejemplo, la parte entera de la raíz de 845 es 29.

 

Sacar los decimales

 

Cuando hayamos “acabado” con el número A, habremos encontrado la parte entera y por lo tanto añadiremos la coma al resultado que tenemos de momento. Encontrar los decimales consiste en repetir el procedimiento, calculando R, ya que conocemos todo de la ecuación 7. En el ejemplo, se obtiene restando 445-441=4. A esta resta se le añaden dos ceros a la derecha (propiedad de la ecuación 6).

En el ejemplo queda 400, y este número ocuparía el lugar de la nueva diferencia A – b12 · 100. Se repite todo el procedimiento considerando ahora como b1 el número de dos cifras que llevamos calculado (29). Así, la división de la ecuación 10 quedaría en el ejemplo como 400/(20·29)=0.68…, con lo que la nueva b0 es 0. Cumple la inecuación puesto que el término de la derecha da 0. El número que llevamos de momento del cálculo de la raíz de 845 es 29,0.

Sacar otro decimal es proceder análogamente. Ahora R=400-0=400, y ampliado con dos ceros, el nuevo numerador de la ecuación 10 es 40.000. La nueva b1 siempre deberá ser todo el número que llevemos calculado, sin decimales. En nuestro caso 290. La ecuación 10 da 40.000/(290·20)=6,89…, cuya parte entera 6 cumple la inecuación 9: 40.000>290·20·6+62=34.836. Si no la cumpliera probaríamos con el 5, luego el 4, etc. Por lo tanto la raíz de 845 es aproximadamente 29,06.

El procedimiento se complica a medida que se quieren más decimales, porque en realidad lo que hacemos es calcular cada vez la raíz de números más grandes, y utilizamos la propiedad de la ecuación 6.

 

Números con decimales

 

Si A es un número con decimales, se puede multiplicar por una potencia par de 10 hasta no tener decimales y aplicar la regla de la ecuación 6, para poner al resultado la coma en su lugar correcto.

 

Número de más de 3 cifras

 

El procedimiento es igual que con 3. Lo único es que en lugar de ampliar las nuevas R con dos ceros, se amplían con los siguientes dos números. Y para comenzar se hacen agrupaciones de 2 cifras de derecha a izquierda, y escogemos el primer grupo que queda. Por ejemplo, si el número es 845.372, agrupamos las cifras de forma 84, 53 y 72, y comenzamos con el 84. Se han de conocer como mínimo los cuadrados de los números enteros del 1 al 9: 1,4,9,16,25,36,49,64,81. En el ejemplo, el primer b1 es 9.

Si veis cualquier error en la entrada o hay alguna duda lo comentádmelo.

 

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Publicado el 12 febrero, 2011 en Ciencia, Matemáticas y etiquetado en . Guarda el enlace permanente. 2 comentarios.

  1. Amigo, muchísimas gracias. Intenté demostrarlo por mi cuenta pero fallé en el intento. De nuevo gracias.

    PD: Está muy interesante tu Blog, lo encontré buscando esta demostración y de repente… ¡Veo que escribes acerca de MGS! Quedé estupefacto.

  1. Pingback: Raíz cuadrada a mano (paso a paso) « CompuGlobal HiperMegaNet

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